矩阵【线性代数系列(二)】

矩阵【线性代数系列(二)】

ICPC比赛

文章目录


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请添加图片描述


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输出


1.线性方程组

对有n个未知数和m个方程的线性方程组:

      

a

11

x

1

+

a

12

x

2

+

.

.

.

+

a

1

n

x

n

=

b

1

a_{11}x_{1}+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n=b_1

a11x1+a12x2++a1nxn=b1
      

a

21

x

1

+

a

22

x

2

+

.

.

.

+

a

2

n

x

n

=

b

2

a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n=b_{2}

a21x1+a22x2++a2nxn=b2
      

.

.

.


      

a

m

1

x

1

+

a

m

2

x

2

+

.

.

.

+

a

m

n

x

n

=

b

m

a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n=b_{m}

am1x1+am2x2++amnxn=bm

二维数组

b

1

,

b

2

,

.

.

.

,

b

m

b_1,b_2,…,b_m

b1,b2,,bm不全为0时,线性方程组被称为n元非齐次线性方程组。

高教社杯全国大学生数学建模竞赛

b

1

,

b

2

,

.

.

.

,

b

m

b_1,b_2,…,b_m

b1,b2,,bm全为0时,线性方程组被称为n元齐次线性方程组。

工厂方法模式

对n元齐次线性方程组,

x

1

,

x

2

,

.

.

.

x

n

=

0

x_1,x_2,…x_n=0

x1,x2,xn=0一定是它的解,这个解叫做n元齐次线性方程组的零解。
n元齐次线性方程组一定有零解,但不一定有非零解。

编程


2.矩阵的概念

m×n个数字组成的m行n列矩阵:

[

a

11

a

12

.

.

.

a

1

n

a

21

a

22

.

.

.

a

2

n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

m

1

a

m

2

.

.

.

a

m

n

]

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &… & a_{2n}\\ …&… &…&… \\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn} \end{bmatrix}

a11a21am1a12a22am2a1na2namn


被称为m×n矩阵
当m=n时也被称为

n

阶矩阵

n阶矩阵

n阶矩阵n阶方阵
如果A和B是行数和列数都相同的矩阵,则称A与B是同型矩阵
如果同型矩阵A和B对应位置的元素都相等,则称A与B相等
元素都是实数的矩阵称为实矩阵,元素都是复数的矩阵称为复矩阵
只有一行的矩阵称为 行矩阵,也称 行向量
只有一列的矩阵称为 列矩阵,也称 列向量
元素都是0的矩阵是

零矩阵

零矩阵

零矩阵,可简记为

o

o

o
对非齐次线性方程组:

      

a

11

x

1

+

a

12

x

2

+

.

.

.

+

a

1

n

x

n

=

b

1

a_{11}x_{1}+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n=b_1

a11x1+a12x2++a1nxn=b1
      

a

21

x

1

+

a

22

x

2

+

.

.

.

+

a

2

n

x

n

=

b

2

a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n=b_{2}

a21x1+a22x2++a2nxn=b2
      

.

.

.


      

a

m

1

x

1

+

a

m

2

x

2

+

.

.

.

+

a

m

n

x

n

=

b

m

a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n=b_{m}

am1x1+am2x2++amnxn=bm

树和二叉树

可以表示为矩阵:

[

a

11

a

12

.

.

.

a

1

n

a

21

a

22

.

.

.

a

2

n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

m

1

a

m

2

.

.

.

a

m

n

]

×

[

x

1

x

2

.

.

.

x

n

]

=

[

b

1

b

2

.

.

.

b

n

]

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &… & a_{2n}\\ …&… &…&… \\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn} \end{bmatrix}×\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ … \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ … \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}

a11a21am1a12a22am2a1na2namn

×

x1x2xn

=

b1b2bn

assetbundle

其中,
第一个矩阵是 系数矩阵,第二个矩阵是 未知数矩阵,第三个矩阵是 常数项矩阵

单片机


也可以写成

[

a

11

a

12

.

.

.

a

1

n

b

1

a

21

a

22

.

.

.

a

2

n

b

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

m

1

a

m

2

.

.

.

a

m

n

b

n

]

×

[

x

1

x

2

.

.

.

x

n

1

]

=

[

0

0

.

.

.

0

]

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} &b_1\\ a_{21} & a_{22} &… & a_{2n} & b_2\\ …&… &…&… & … \\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}&b_n \end{bmatrix}×\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ … \\ x_{n}\\1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ … \\ 0 \\ \end{bmatrix}

a11a21am1a12a22am2a1na2namnb1b2bn

×

x1x2xn1

=

000

链游

这种形式下,第一个矩阵被称为 增广矩阵

ofdma


3. 对角矩阵 与 单位矩阵

Λ

=

[

λ

1

0

.

.

.

0

0

λ

2

.

.

.

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0

.

.

.

λ

n

]

\Lambda= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & … & 0 \\ 0 & \lambda_2 & … & 0 \\ … & …& …& …\\ 0 & 0 & … & \lambda_n \\ \end{bmatrix}

Λ=

λ1000λ2000λn


像这样,从左上,到右下角直线上以外的元素都为0的矩阵,被称为 对角矩阵。简称 对角阵。对角阵也记作

            

Λ

=

d

i

a

g

(

λ

1

,

λ

2

,

.

.

.

,

λ

n

)

\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n)

Λ=diag(λ1,λ2,,λn)

测试号


特别的,当

λ

1

=

λ

2

=

.

.

.

=

λ

n

=

1

\lambda_1=\lambda_2=…=\lambda_n=1

λ1=λ2==λn=1时,矩阵如下:

E

=

[

1

0

.

.

.

0

0

1

.

.

.

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0

.

.

.

1

]

E= \begin{bmatrix} 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ … & …& & …\\ 0 & 0 & … & 1 \\ \end{bmatrix}

E=

100010001


这样的矩阵叫做 单位矩阵,简称单位阵

单位矩阵的元可以表示为:

e

i

j

=

{

1

,

i

=

j

0

,

i

j

(

i

,

j

=

1

,

2

,

.

.

.

,

n

)

e_{ij}=\left\{ \begin{aligned} 1 &,& 当\quad i=j\\ 0&,&当 \quad i≠j \end{aligned} \right.(i,j=1,2,…,n)

eij={10,,i=ji=j(i,j=1,2,,n)

awk 命令使用


4.矩阵的运算

4.1 矩阵的加法

两个同型矩阵可以相加,相加方式为对应位置的数字之间相加。
矩阵的加法是满足交换律的。

android13


4.2 矩阵的数乘

数量乘法(数乘)
使用一个常数乘以一个矩阵,即使用该常数乘以矩阵中的每一个元素。
矩阵的数乘满足乘法的交换律和结合律,以及分配率。

如何创建数据库


4.3 矩阵的乘法

C

=

A

B

C=AB

C=AB为例,则A、B需要满足A的列数等于B的行数。设A是m×s矩阵,B是s×n矩阵,则C是一个m×n矩阵。则
     

c

i

j

=

k

=

1

s

a

i

k

b

k

j

=

a

i

1

b

1

j

+

a

i

2

b

2

j

+

.

.

.

+

a

i

s

b

s

j

c_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+…+a_{is}b_{sj}

cij=k=1saikbkj=ai1b1j+ai2b2j++aisbsj

C语言必背18个经典程序

矩阵的乘法不满足交换律。但是满足结合律和分配率。

数据库管理员


为了方便记忆,这里引入实际情景,

以多元回归方程的矩阵形式为例:
其中,对

X

i

j

X_{ij}

Xij,不同的

i

i

i 表示不同的特征,不同的j表述不同的样本。

X

i

j

X_{ij}

Xij所在的矩阵的第一列是为引入常数项准备的,后边每一列对应一个特征,而每一行表示一个样本,

β

1

\beta1

β1表示截距项,

β

2

\beta2

β2~

β

k

\beta k

βk则表示每个特征的回归系数,

μ

i

\mu_i

μi表示残差项。

x

i

j

x_{ij}

xij所在的矩阵与

β

i

\beta_i

βi所在的矩阵相乘,得到的是一个n行1列的矩阵,即与

β

i

\beta_{i}

βi所在的矩阵有着相同的shape。

[

Y

1

Y

2

.

.

.

Y

n

]

=

[

1

X

21

X

31

.

.

.

X

k

1

1

X

22

X

32

.

.

.

X

k

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

X

2

n

X

n

.

.

.

X

k

n

]

[

β

1

β

2

.

.

.

β

k

]

+

[

u

1

u

2

.

.

.

u

n

]

\begin{gathered} \begin{bmatrix}Y_1 \\ Y_2 \\ … \\ Y_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & X_{21} & X_{31}& … & X_{k1} \\ 1 & X_{22} & X_{32}& … & X_{k2} \\ … & … & … & … & … \\ 1 & X_{2n} & X_{n}& … & X_{kn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} β_1 \\ β_2 \\ … \\ β_k \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ … \\ u_n \end{bmatrix} \end{gathered}

Y1Y2Yn

=

111X21X22X2nX31X32XnXk1Xk2Xkn

β1β2βk

+

u1u2un


=

[

1

×

β

1

+

X

21

β

2

+

X

31

β

3

+

.

.

.

+

X

k

1

β

k

+

μ

1

1

×

β

1

+

X

22

β

2

+

X

32

β

3

+

.

.

.

+

X

k

2

β

k

+

μ

2

.

.

.

1

×

β

1

+

X

2

n

β

2

+

X

3

n

β

3

+

.

.

.

+

X

k

n

β

k

+

μ

n

]

= \begin{gathered} \begin{bmatrix} 1×\beta_1+X_{21}\beta_2+X_{31}\beta_3+…+X_{k1}\beta_k+\mu_1 \\ 1×\beta_1+X_{22}\beta_2+X_{32}\beta_3+…+X_{k2}\beta_k+\mu_2 \\ …\\ 1×\beta_1+X_{2n}\beta_2+X_{3n}\beta_3+…+X_{kn}\beta_k+\mu_n \\ \end{bmatrix} \end{gathered}

=

1×β1+X21β2+X31β3++Xk1βk+μ11×β1+X22β2+X32β3++Xk2βk+μ21×β1+X2nβ2+X3nβ3++Xknβk+μn

一致性哈希


作为简化,用一个行矩阵乘以一个列矩阵,即求该矩阵的第一个数字的过程,即

[

1

X

21

X

31

.

.

.

X

k

1

]

[

β

1

β

2

β

3

.

.

.

β

k

]

=

[

1

×

β

1

+

X

21

β

2

+

X

31

β

3

+

.

.

.

+

X

k

1

β

k

]

\begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 & X_{21} & X_{31}& … & X_{k1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ … \\ \beta_k \end{bmatrix} \end{gathered}=\begin{gathered} \begin{bmatrix} 1×\beta_1+X_{21}\beta_2+X_{31}\beta_3+…+X_{k1}\beta_k\end{bmatrix} \end{gathered}

[1X21X31Xk1]

β1β2β3βk

=[1×β1+X21β2+X31β3++Xk1βk]
如果交换两个矩阵位置再相乘,则会得到下边结果:

[

β

1

β

2

β

3

.

.

.

β

k

]

[

1

X

21

X

31

.

.

.

X

k

1

]

=

[

β

1

×

1

β

2

X

21

β

3

X

31

.

.

.

β

k

X

k

1

β

1

×

1

β

2

X

22

β

3

X

32

.

.

.

β

k

X

k

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

β

1

×

1

β

2

X

2

n

β

3

X

3

n

.

.

.

β

k

X

k

n

]

\begin{gathered} \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3\\… \\ \beta_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & X_{21} & X_{31}& … & X_{k1}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \beta_1× 1 &\beta_2X_{21} & \beta_3X_{31}&…&\beta_kX_{k1}\\ \beta_1× 1 &\beta_2X_{22} & \beta_3X_{32}&…&\beta_kX_{k2}\\ …& …& …& … & …\\ \beta_1× 1&\beta_2X_{2n} & \beta_3X_{3n}&…&\beta_kX_{kn} \end{bmatrix} \end{gathered}

β1β2β3βk

[1X21X31Xk1]=

β1×1β1×1β1×1β2X21β2X22β2X2nβ3X31β3X32β3X3nβkXk1βkXk2βkXkn

rockchip

当矩阵B有多列时。
当矩阵B有多列时,即使用矩阵A对矩阵B的每一列做上述情景的运算,并在对应位置处生成多列即可。

web3.js


4.4 矩阵的幂

有矩阵的乘法,就可以定义矩阵的幂:
当A是n阶方阵时,

A

A

A与自身的乘法可以用幂的形式来表示,如

A

k

A^k

Ak

Qt控件


4.5 交换率结合率分配率汇总

A

+

B

=

B

+

A

A+B=B+A

A+B=B+A

(

A

+

B

)

+

C

=

A

+

(

B

+

C

)

(A+B)+C=A+(B+C)

(A+B)+C=A+(B+C)

(

λ

μ

)

A

=

λ

(

μ

A

)

(\lambda \mu)A=\lambda(\mu A)

(λμ)A=λ(μA)

(

λ

+

μ

)

A

=

λ

A

+

μ

A

(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A

(λ+μ)A=λA+μA

λ

(

A

+

B

)

=

λ

A

+

λ

B

\lambda(A+B)=\lambda A + \lambda B

λ(A+B)=λA+λB

(

A

B

)

C

=

A

(

B

C

)

(AB)C=A(BC)

(AB)C=A(BC)

λ

(

A

B

)

=

(

λ

A

)

B

=

A

(

λ

B

)

\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A

(

B

+

C

)

=

A

B

+

A

C

A(B+C)=AB+AC

A(B+C)=AB+AC   

(

B

+

C

)

A

=

B

A

+

C

A

(B+C)A=BA+CA

(B+C)A=BA+CA

L298N

对单位矩阵有:
        

E

m

A

m

×

n

=

A

m

×

n

E

n

=

A

E_mA_{m×n}=A_{m×n}E_n=A

EmAm×n=Am×nEn=A

Material

对矩阵的幂:
            

A

k

A

l

=

A

k

+

l

A^kA^l=A^{k+l}

AkAl=Ak+l
只有当

A

B

AB

AB中A与B可交换位置时(可交换位置不限于两者相等),才有

(

A

B

)

k

=

A

k

B

k

(AB)^k=A^kB^k

(AB)k=AkBk

LBPH


4.6 矩阵的转置

转置即行列互换。

矩阵的转置满足以下运算规律:

(

A

T

)

T

=

A

(A^T)^T=A

(AT)T=A

(

A

+

B

)

T

=

A

T

+

B

T

(A+B)^T=A^T+B^T

(A+B)T=AT+BT

(

λ

A

)

T

=

λ

A

T

(\lambda A)^T=\lambda A^T

(λA)T=λAT

(

A

B

)

T

=

B

T

A

T

(AB)^T=B^TA^T

(AB)T=BTAT

Spring 定时任务

设A为n阶方阵,如果满足

A

T

=

A

A^T=A

AT=A,即

a

i

j

=

a

j

i

a_{ij}=a_{ji}

aij=aji,则A被称为 对称矩阵,简称对矩阵。对称矩阵中以对角线为对称轴的元素相等。


5. 矩阵的行列式

矩阵A的行列式记作

A

|A|

A

d

e

t

A

detA

detA
不是所有的矩阵都可以变为行列式,方阵才可以。
由矩阵确定的行列式在计算时满足:
     

A

T

=

A

|A^T|=|A|

AT=A
     

λ

A

=

λ

n

A

|\lambda A|=\lambda^n |A|

λA=λnA
     

A

B

=

A

B

|AB|=|A||B|

AB=A∣∣B

行列式

A

|A|

A的各个元素的代数余子式

A

i

j

A_{ij}

Aij构成的如下矩阵,

                 

A

=

[

A

11

A

21

.

.

.

A

n

1

A

12

A

22

.

.

.

A

n

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

A

1

n

A

2

n

.

.

.

A

n

n

]

A*=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&…&A_{n1} \\ A_{12}&A_{22}&…&A_{n2} \\ …&…&…&… \\ A_{1n}&A_{2n}&…&A_{nn} \\ \end{bmatrix}

A=

A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann


矩阵

A

A*

A称为矩阵A的 伴随矩阵。简称伴随阵

矩阵

A

A

A与它的伴随矩阵

A

A*

A满足:

               

A

A

=

A

A

=

A

E

AA*=A*A=|A|E

AA=AA=AE


6.矩阵的线性变换

对等式:

[

a

11

a

12

.

.

.

a

1

n

a

21

a

22

.

.

.

a

2

n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

m

1

a

m

2

.

.

.

a

m

n

]

×

[

x

1

x

2

.

.

.

x

n

]

=

[

y

1

y

2

.

.

.

y

n

]

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &… & a_{2n}\\ …&… &…&… \\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn} \end{bmatrix}×\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ … \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ … \\ y_{n} \\ \end{bmatrix}

a11a21am1a12a22am2a1na2namn

×

x1x2xn

=

y1y2yn


如果将其看作是一个对

X

i

j

X_{ij}

Xij所在矩阵的变换过程,这样的变换被称作从变量

[

x

1

,

x

2

,

.

.

.

,

x

n

]

[x_1, x_2,…,x_n]

[x1,x2,,xn]到变量

[

y

1

,

y

2

,

.

.

.

,

y

n

]

[y_1, y_2,…,y_n]

[y1,y2,,yn] 线性变换。其中

a

i

j

a_{ij}

aij是常数。

其中,

a

i

j

a_{ij}

aij所构成的矩阵被称为 系数矩阵
矩阵的线性变换在实际应用中是非常重要的。

系数矩阵确定,变换关系就确定。

下边给出几个典型示例:
①对角矩阵对

[

x

1

,

x

2

,

.

.

.

x

n

]

[x_1,x_2,…x_n]

[x1,x2,xn]的线性变换

[

λ

1

0

.

.

.

0

0

λ

2

.

.

.

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0

.

.

.

λ

n

]

×

[

x

1

x

2

.

.

.

x

n

]

=

[

λ

1

x

1

λ

2

x

2

.

.

.

λ

n

x

n

]

\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & \lambda_{2} &… & 0\\ … & … &…&… \\ 0 & 0 &…& \lambda_n \end{bmatrix}×\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ … \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda_{1}x_1 \\ \lambda_{2}x_2 \\ … \\ \lambda_{n}x_n \\ \end{bmatrix}

λ1000λ2000λn

×

x1x2xn

=

λ1x1λ2x2λnxn



单位矩阵对应的线性变换叫做恒等变换。(单位矩阵的矩阵乘法中的作用类似于1)

[

1

0

.

.

.

0

0

1

.

.

.

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0

.

.

.

1

]

×

[

x

1

x

2

.

.

.

x

n

]

=

[

x

1

x

2

.

.

.

x

n

]

\begin{bmatrix} 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 &… & 0\\ … & … &…&… \\ 0 & 0 &…& 1 \end{bmatrix}×\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ … \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ … \\ x_n \\ \end{bmatrix}

100010001

×

x1x2xn

=

x1x2xn


③把向量

A

=

[

x

y

]

A=\begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix}

A=[xy]沿x轴正方向旋转

φ

\varphi

φ度。得到向量

B

=

[

X

Y

]

B=\begin{bmatrix}X & Y\end{bmatrix}

B=[XY]

[

c

o

s

φ

s

i

n

φ

s

i

n

φ

c

o

s

φ

]

×

[

x

y

]

=

[

X

Y

]

\begin{bmatrix} cos \varphi & -sin \varphi \\ sin \varphi & cos \varphi\\ \end{bmatrix}× \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} X \\ Y \\ \end{bmatrix}

[cosφsinφsinφcosφ]×[xy]=[XY]
这也是PCA降维算法的核心思想的一部分。
假设A是有两个特征的样本集,以三个样本为例,则表达式如下:

[

c

o

s

φ

s

i

n

φ

s

i

n

φ

c

o

s

φ

]

×

[

x

1

x

2

x

3

y

1

y

2

y

3

]

=

[

X

1

X

2

X

3

Y

1

Y

2

Y

3

]

\begin{bmatrix} cos \varphi & -sin \varphi \\ sin \varphi & cos \varphi\\ \end{bmatrix}× \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} X_1 & X_2 & X_3\\ Y_1 & Y_2 & Y_3\\ \end{bmatrix}

[cosφsinφsinφcosφ]×[x1y1x2y2x3y3]=[X1Y1X2Y2X3Y3]


6.逆矩阵

对n阶矩阵A,如果存在n阶矩阵B,使

A

B

=

B

A

=

E

AB=BA=E

AB=BA=E,则称矩阵A是可逆的。矩阵B是矩阵A的逆矩阵。简称逆阵

如果矩阵A是可逆的,那么A的逆矩阵是唯一的唯一的。

矩阵A的逆矩阵可以记作

A

1

A^{-1}

A1

定理一
若矩阵A可逆,则

A

0

|A|≠0

A=0

定理二
如果

A

0

|A|≠0

A=0,则矩阵A可逆,且
             

A

1

=

1

A

A

A^{-1}=\frac{1}{|A|}A*

A1=A1A

当|A|=0时,称为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵。也就是说,奇异矩阵是非可逆矩阵,而非奇异矩阵据说可逆矩阵。所以可逆矩阵的充分必要条件是,

A

0

|A|≠0

A=0

所以若A可逆,则A满足:

(

A

1

)

1

=

A

(A^{-1})^-1=A

(A1)1=A

(

λ

A

)

1

=

1

λ

A

1

(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}

(λA)1=λ1A1

(

A

B

)

1

=

B

1

A

1

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

(AB)1=B1A1


7.克拉默法则

对有n个未知数和n个线性方程的线性方程组:

      

a

11

x

1

+

a

12

x

2

+

.

.

.

+

a

1

n

x

n

=

b

1

a_{11}x_{1}+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n=b_1

a11x1+a12x2++a1nxn=b1
      

a

21

x

1

+

a

22

x

2

+

.

.

.

+

a

2

n

x

n

=

b

2

a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n=b_{2}

a21x1+a22x2++a2nxn=b2
      

.

.

.


      

a

n

1

x

1

+

a

n

2

x

2

+

.

.

.

+

a

n

n

x

n

=

b

n

a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+…+a_{nn}x_n=b_{n}

an1x1+an2x2++annxn=bn

克拉默法则:

如果其系数矩阵A的行列式的值不为0,即

A

=

a

11

a

12

.

.

.

a

1

n

a

21

a

22

.

.

.

a

2

n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

n

1

a

n

2

.

.

.

a

n

n

0

|A|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &… & a_{2n}\\ …&… &…&… \\ a_{n1}&a_{n2}&…&a_{nn} \end{vmatrix}≠0

A=

a11a21an1a12a22an2a1na2nann

=0

则方程组有唯一解:

           

x

j

=

A

j

A

x_j=\frac{|A_j|}{|A|}

xj=AAj

其中A_j是系数矩阵A中第j列用方程组右端的常数项代替后得到的n阶矩阵。


8.矩阵分块

对于行数和列数较多的矩阵,可以使用分块法将大矩阵分割为小矩阵。每一个小矩阵称为A的 子块,以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。分块的方式自由多样。具体不再过多赘述。


9.python实现

9.1 创建一般矩阵

可以使用numpy库的mat()方法创建简单矩阵。
创建矩阵时,参数可以采用字符串形式传入,数据之间用空格隔开,行之间用引号隔开。
也可以将numpy数组转化为矩阵。

import numpy as np
# 1.创建一个2×2的矩阵
a1 = np.mat("1 2;3 4")
print(a1)
print("==========================")
# 2.创建一个3×3的矩阵
a2 = np.mat("1 2 3;4 5 6;7 8 9")
print(a2)
print("==========================")
# 3.使用numpy数组创建矩阵
a3 = np.mat(np.random.randint(1, 100, size=(5, 5)))
print(a3)
print("==========================")
print(type(a1))
print(type(a2))
print(type(a3))

输出结果如下:
          在这里插入图片描述


9.2 创建全零、全一矩阵

创建全零矩阵和全一矩阵的代码如下:

# 全零矩阵
m = np.mat(np.zeros((5, 5)))
print(m)
# 全一矩阵
n = np.mat(np.ones((4, 5), dtype='i8'))
print(n)

程序输出结果如下:
          在这里插入图片描述


9.3 创建对角矩阵与单位矩阵

创建对角矩阵和单位矩阵的代码如下:

# 对角矩阵
a = [1, 2, 3, 4, 5]
m = np.mat(np.diag(a))
print(m)
print("==================================")
# 单位矩阵
n = np.mat(np.eye(5, dtype='i8'))
print(n)

程序输出结果如下:
          在这里插入图片描述


9.4 矩阵与标量的运算

m1 = np.mat([[3, 4], [6, 12], [9, 20]])
print(m1)
print("=======================")
print(m1 + 2)
print("=======================")
print(m1 - 2)
print("=======================")
print(m1 * 2)
print("=======================")
print(m1 / 2)

程序计算结果如下:
          在这里插入图片描述


9.5 矩阵与矩阵的运算

同型矩阵才能相加,第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数才能相乘,这一点一定要遵守。如果不是同型矩阵而相加,也有可能不会报错,比如m1+[[3,4]]此处要格外留意。

m1 = np.mat([[3, 4], [6, 12], [9, 20]])
m2 = np.mat([[3, 4], [6, 12]])
print("==========m1===========:")
print(m1)
print("==========m2===========:")
print(m2)
print("======= m1 + m1 =======:")
print(m1 + m1)
print("======= m1 * m2 =======:")
print(m1 * m2)

程序计算结果如下:
          在这里插入图片描述


9.6 矩阵的转置

# 矩阵转置
m = np.mat([[3, 4], [6, 12], [9, 20]])
print(m)
print("====================")
print(m.T)

程序计算结果如下:
             在这里插入图片描述


9.7 逆矩阵

m = np.mat("1 3 3;4 5 6;7 12 9")
print(m)
print("===========逆矩阵==========")
print(m.I)

程序计算结果如下:
             在这里插入图片描述


本次分享就到这里,小啾感谢您的关注与支持!
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