【algorithm】认真讲解前缀和与差分 (图文搭配)

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前言

这里介绍以下前缀和算法以及差分算法,用来梳理自己所学到的算法知识。

nvm


一、前缀和算法

1.1 什么是前缀和?

从我的理解角度来讲:前缀和就是高中数学当中的数列的求和Sn,差分就是前缀和的逆运算,就是递推公式。

Menu 1

1.2 一维前缀和

先来看一道题目吧:
在这里插入图片描述
这是之前训练的时候的一道经典的前缀和问题,我们很容易想到暴力作法:遍历数组

脚本语言

代码如下:

特征检测

#include<stdio.h>
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];
int n,m;
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	while(m--)
	{
    	int l, r;
    	int sum = 0;
    	scanf("%d%d", &l, &r);
    	for(int i = l; i <= r; i++)
    	{ 
     	   sum += a[i];
  	  	}
    	printf("%d\n",sum);
	}
	return 0;
}

这样的时间复杂度为O(n * m),如果n和m的数据量稍微大一点就有可能超时,而我们如果使用前缀和的方法来做的话就能够将时间复杂度降到O(n + m),大大提高了运算效率。

视频分享

前缀和做法:

剪枝

#include<stdio.h>
int main()
{
	long long n,k,arr[100010],sum[100010];
	scanf("%lld %lld",&n,&k);
	sum[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&arr[i]);
		int tmp=arr[i];
		sum[i]=tmp+sum[i-1];
	}
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		int f,t;
		scanf("%d %d",&f,&t);
		printf("%lld\n",sum[t]-sum[f-1]);//重要步骤
	}
	return 0;
}

原理讲解:

Spring中的依赖注入

sum[r] = a[1] + a[2] + a[3] + a[l-1] + a[l] + a[l + 1] .. a[r];
sum[l - 1] = a[1] + a[2] + a[3] + ... + a[l - 1];
sum[r] - sum[l - 1] = a[l] + a[l + 1] + ... + a[r];

微信登录

这样,对于每个询问,只需要执行 sum[r] – sum[l – 1]。输出原序列中从第l个数到第r个数的和的时间复杂度变成了O(1)。

保研

我们把它叫做一维前缀和。

php

二、二维前缀和

先来看一道题目吧:

android版本适配

在这里插入图片描述

sed命令使用详解

因为这里提及到了二维这个词,所以我们先来定义一个二维数组s[][] , s[i][j] 表示二维数组中,左上角(1, 1)到右下角(i, j)所包围的矩阵元素的和。接下来推导二维前缀和的公式。

微信授权

先看一张图:
在这里插入图片描述
图解:

r语言

  • (1,1)(i,j-1)表示的面积是S1+S2定义为S黄蓝
  • (1,1)(i-1,j)表示的面积是S1+S3定义为S黄粉
  • (1,1)(i,j)表示的面积是S黄蓝+S黄粉-S1+S4

因此得出二维前缀和预处理公式

ddr

s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1 ] + a[i] [j] - s[i - 1][j - 1]

MDK编译过程

讲解完这些基础知识就可以去解决刚才的问题啦

大厂外包

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, q;
int s[N][N];
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            scanf("%d", &s[i][j]);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
    while (q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    }
    return 0;
}

所以总结模板就是:

CommandBuffer

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角,(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为:
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

构建DApp示例项目

三、一维差分

先看一道问题:
在这里插入图片描述

VC++

类似于数学中的求导和积分,差分可以看成前缀和的逆运算。
首先给定一个原数组aa[1], a[2] , , , , a[n];

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然后我们构造一个数组b b[1], b[2] , , , b[i];

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使得 a[i] = b[1] + b[2] + , , , + b[i]

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也就是说,a数组是b数组的前缀和数组,反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。换句话说,每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。

金融

其实换个好理解的方式:
a[0 ]= 0;
b[1] = a[1] - a[0];
b[2] = a[2] - a[1];

b[n] = a[n] - a[n - 1];

泛型

但是知道了这些怎么用到题目上呢?或者换句话说,怎么就成为一种算法了呢?hhh下面就来解决这个问题哦~

附源码

如果给定区间[l, r ],让我们把a数组中的[l, r] 区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l + 1] + c , a[l + 2] + c ,,,,,, a[r] + c;

暴力做法是for循环l到r区间,时间复杂度O(n),如果我们需要对原数组执行m次这样的操作,时间复杂度就会变成O(n * m)。有没有更高效的做法吗? 考虑差分的做法。

首先让差分b数组中的 b[l] + c ,通过前缀和运算,a数组变成 a[l] + c ,a[l + 1] + c,,,,,, a[n] + c;

然后我们打个补丁,b[r + 1] - c, 通过前缀和运算,a数组变成 a[r + 1] - c,a[r + 2] - c,,,,,,,a[n] - c;

在这里插入图片描述
b[l] + c,效果使得a数组中 a[l] 及以后的数都加上了c(红色部分),但我们只要求l到r 区间加上 c, 因此还需要执行 b[r + 1] - c,让a数组中 a[r + 1]及往后的区间再减去c(绿色部分),这样对于a[r] 以后区间的数相当于没有发生改变。

因此我们得出一维差分结论:给a数组中的[ l, r] 区间中的每一个数都加上c,只需对差分数组bb[l] + = c,b[r+1] - = c 。时间复杂度为O(1), 大大提高了效率。

代码如下:

#include<stdio.h>
int main()
{
    int arr[100010],a[100010],n,m,q;
    scanf("%d%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&arr[i]);
    a[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=arr[i]-arr[i-1];
    }
    while(m--)
    {
        int l,r,c;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
        a[l]+=c;
        a[r+1]-=c;
        
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        arr[i]=arr[i-1]+a[i];
        printf("%d ",arr[i]);
    }
    
    return 0;
}

四、二维差分

首先先看一道题目:
在这里插入图片描述
如果扩展到二维,我们需要让二维数组被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c,是否也可以达到O(1)的时间复杂度。答案是可以的,考虑二维差分。

那么下面就来讲解二维差分

在这里插入图片描述

  • b[x1][y1] += c ; 对应图1 ,让整个a数组中黄色矩形面积的元素都加上了c。
  • b[x1,][y2 + 1] -= c ; 对应图2 ,让整个a数组中粉色+绿色矩形面积的元素再减去c,使其内元素不发生改变。
  • b[x2 + 1][y1] -= c ; 对应图3 ,让整个a数组中蓝色+绿色矩形面积的元素再减去c,使其内元素不发生改变。
  • b[x2 + 1][y2 + 1] += c; 对应图4,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再加上c,绿色内的相当于被减了两次,再加上一次c,才能使其恢复。

模板:

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}

在这里插入图片描述

b[i][j] = a[i][j] − a[i − 1][j] − a[i][j − 1] + a[i −1 ][j − 1]
代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N],b[N][N];
int n,m,q;

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}

int main()
{
    cin>>n>>m>>q;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);//构造差分数组
        }
    }
    
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
        insert(x1,y1,x2,y2,c);//进行差分
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            printf("%d ",b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

}

总结

今天学习了前缀和算法知识,每天进步一点点,不积硅步,无以至千里
我们下期见吧~

在这里插入图片描述
如果无聊的话,就来逛逛我的博客栈吧stack-frame.cn

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