关于ECC-Elgamal同态加密
关于ECC-Elgamal同态加密
1.什么是ECC(elliptic curve)
1.有限域
首先我们要知道椭圆曲线加密是在有限域进行加密的（对于无限域上的加密我没有了解过），在椭圆曲线
加密上有限域分为：1.GF(p)素数域2.GF(2^m)伽罗华域。本次我们讨论素数域上的椭圆曲线加密。
2.模运算
由于我们要在有限域上进行加密，而椭圆曲线是连续的，并不适合加密，所以必须把椭圆曲线变成离散的点，
要把椭圆曲线定义在有限域上，这时我们就要用到模运算，把点映射到有限域上。
模运算：运算符(mod n)将所有整数映射到集合｛0,1,...,(n-1)｝中。性质有如下
(1)[(a mod n) + (b mod n)] mod n = (a+b)mod n
(2)[(a mod n) - (b mod n)] mod n = (a-b)mod n
(3)[(a mod n) * (b mod n)] mod n = (a*b)mod n
这个运算在很多非对称加密中都要用到，像RSA,paillier等都会涉及。关于他们的证明还请读者去寻找初等数论知识。
还有一个知识点也要补充一下--同余
同余：设m是正整数，a和b是整数。如果m|a-b(|是整除的意思)，则称a模m同余于b，或a与b模m同余，记作a≡b(mod n).
在数论中 同余关系是等价关系（我也不知道为什么，反正他们规定的） 但是要满足下列三个属性
(1)自反性：a≡a(mod n)
(2)传递性：a≡b(mod n),b≡c(mod n),a≡c(mod n)
(3)对称性：a≡b(mod n) => b≡a(mod n)
后续我们会经常用到同余，所以当对于一个椭圆曲线公式左右值求出来不相等的时候（肯定是你忘记mod n）了！
左右两边都记得！ y^2(mod n) = x^3+a*x+b(mod n) (（mod n）不是单单对bmod的，是x值带入全部计算出来之后在取mod，
我第一次就犯错误了!)
3.椭圆曲线上的加法运算
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首先椭圆曲线并不是椭圆，在上面进行加法是有特殊的法则的，我们讨论GF(p)上的加法运算
设p=23,a=b=1,考虑曲线方程y^2 = x^3+a*x+b(a,b代入)
(1)P+O=P (其中P是椭圆曲线上的点，O是无穷远点)
(2)若P=(X1,Y1),则P+(X1,-Y1)=O.点(X1，-Y1)是点P的逆元，记作-P.
(3)若P=(X1，Y1),Q=(X2,Y2),且P≠-Q则R=P+Q=(Xr,Yr)有下列规则确定：
Xr = (λ^2-X1-X2)mod p
Yr = (λ(Xr-X1)-Y1)mod p
其中：
若P≠Q λ=[(Y2-Y1)/(X2-X1)]mod p
若P=Q λ=[(3*X1^2+a)/2*Y1]mod p
(4)乘法定义为重复相加：4P=P+P+P+P.
2.非同态加密的椭圆曲线加密
1.公私钥生成：
1.Alice首先构造一条椭圆曲线E,在曲线上选择一点G作为生成元，并求G的阶为n,要求n必须为质数。
2.Alice选择一个私钥(d<n),生成公钥Q=d*G（多次调用椭圆曲线上的加法运算）
3.Alice将公钥组Ep(a,b),Q,G发送给Bob
网络
https://zhuanlan.zhihu.com/p/40243602 很不错的一篇文章来讲解阶和基点
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2.明文嵌入
1.Bob拿到Alice的公钥组后，对消息m进行加密（如果是字符串的话，可以把明文信息存入char[]数组，逐个转换成ASCII
在明文嵌入椭圆曲线），这里为了方便我直接假设明文消息m是一个整数。
2.计算嵌入点Pm的x坐标
step 1. 设m满足(m+1)K<p (K为Bob选择的一个大整数)，明文m将用数字x=mK+j表示，其中0<=j<=K,计算(x^3+a*x+b)mod p
step 2.当p为大于3的素数（奇素数）时，用勒让德符号来判断A=x^3+a*x+b是否**二次剩余**，若A是模p的二次剩余，则存在A的模p平方根，x可以作为哦明文m的植入点坐标。
step3.若A是模p的二次非剩余，则返回step1，将j+1,用新的x值再试一次，重复上面的步骤，直到找到一个x使得A是模p的二次剩余或j=K,如果j始终等于K,则不能把信息映射到一点。
3.计算G(x,y)的y坐标
当A=x^3+a*x+b是模p二次剩余，那我们就要求解y^2 ≡A(mod p),我采用的是Tonelli-shanks算法。(后续我会讲解这个算法的，目前还请读者自行补充知识),此时我们就得到一个椭圆曲线上的坐标Pm(x,y).
3.加密
椭圆曲线的密文形式为C = {kG，Pm+kQ} (其中k为Bob选取的随机正整数，Pm为明文嵌入的点，Q为Alice的公钥)
令C1 = kG （椭圆曲线的标量乘法：k次调用椭圆曲线加法）
令C2 = Pm+kQ（同上）
发送密文给Alice
4.解密
Alice拿到密文C后,计算Pm = C2-C1*d;(我觉得这个加密要把x嵌入点时的，K与j传送过来，方便解码)
然后取Pm的x坐标计算:m=(x-j)/K,得到明文信息。
（我们假设有一个敌手，获取到了以上信息；但是由于Alice的密钥时不可知的，那么Pm=C2-C1*d也是一个难题）
对于上述的明文嵌入的ECC加密是不支持同态加密的，假设存在Pm1与Pm2点,密文的相加时，进行的时椭圆曲线域上的加法，不满足代数域上的逻辑，得不到m1+m2的结果！
语义分割
3.同态加密的椭圆曲线加密（ECC-Elgamal）
对比上述的非同态加密ECC加密算法，两者的区别在于明文嵌入的方式。
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1.同态加密明文嵌入
Pm = m*G(其中m为明文消息转换而成的大整数，G为椭圆曲线的基点)，由于G点是椭圆曲线的生成元，所以进行标量乘法
之后的点依旧在椭圆曲线上
2.加密
此时我们加密的密文变成C= {kG,mG+kQ}(mG既是明文嵌入点)，将密文传输给Alice
3.解密
Alcie拿到密文后，计算mG=m*G+k*Q-k*G*d,然后求解mg的离散对数问题。目前我接触到的算法是BSGS(Baby Step Giant Step)，
可以将他的原理引用到椭圆曲线中。（如果有时间的话，我会在后续写一下，还请读者自行查找信息）。
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4.同态加密
当我们对上述运算过的密文进行解密时，得到的消息就是m1+m2;
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3.关于椭圆曲线的选择
T(p,a,b,G,n,h)这六个椭圆曲线的主要参数 其中n是G点的阶，h是T上所有点个数m与n相除的整数部分
1.一般来说p越大越安全，但是越大速度也就会下降，一般选取200位左右
2.P≠n*h
3.p*t 不同余 1(mod n) 1<=t<=20
4.4a^3+27b^2 不同余 0 mod p
5.n为素数
6.h<=4
4.总结
其实上述的功能我用C++，粗略实现了。但是代码写的太差了，还有很多未知的bug。有一句说的好–存在缺点的战士好过完美的苍蝇！还是要把自己所学的分享出来，你们以后就是密码学大佬！(如果有错误的地方还请大佬多多指正！我虚心求教！)
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